量子控制 · 数值演示

布洛赫球上的鲁棒复合 Z 旋转

目标：用 L 段有误差的自由演化 Z^ε(θ_j) 与 L 个瞬时精确的脉冲 X(α_j) 合成 Z(π)，并要求误差 ε 的前 N 阶导数全部为零（N 阶鲁棒）。本页把两条序列的完整路程画在布洛赫球上：我们的解（自由转角、数值优化，代价 T 更小）与 LYC 等角族（θ_j ≡ π，L = 2N+1，T = (2N+1)π）。可拖动转球；下面的控件切换鲁棒阶 N、输入态与误差 ε。

鲁棒阶 N

输入态

默认 |+⟩（在赤道上，Z 转动立刻可见）。|0⟩、|1⟩ 是 σ_z 的本征态，Z 段不会让它们动，只有 X 脉冲会跳 —— 这不是卡住，是物理。

误差 ε 0

两条序列都是 N 阶鲁棒：ε 小时偏离按 ε^N+1 缩小；把 ε 拉大可以看到同阶偏离，而代价不同。

α 的表示

X 脉冲是自由、精确的旋转：α 与 α−2π 只差一个全局相位，物理上同一个门（论文附录印的是带符号形式）。

播放

两个球共用同一条时间轴（横轴 = 已消耗的 Z 转角）：序列更短，所以它先跑完。

视角

在任意球面上按住拖动可手动旋转（三个球联动）。

我们的解

当前脉冲—

已用 T0

算符残差 ‖U(ε)−Z(π)‖—

保真度角 δ(ε)—

当前态偏差 1−F（对理想同刻）—

端点态误差 1−F—

ε=0.3 参考 1−F—

ε=0.3 参考 δ—

LYC 等角族

当前脉冲—

已用 T0

算符残差 ‖U(ε)−Z(π)‖—

保真度角 δ(ε)—

当前态偏差 1−F（对理想同刻）—

端点态误差 1−F—

ε=0.3 参考 1−F—

ε=0.3 参考 δ—

Z 演化：耗时，绕 z 轴（沿纬度圆） X 脉冲：瞬时，绕 x 轴（沿经线）

静态全路程

同一个球上叠加两条完整序列（ε 取滑块的当前值）。实线 = 耗时的 Z 弧，虚线 = 瞬时 X 跳变；颜色区分两个族。两条轨迹都从同一起点出发、落到各自的终点（理想情形下同为 Z(π)|ψ⟩）。

转角结构（序列本体）

横轴 = 累计消耗的 Z 转角。方块宽度 = 每段 θ_j；方块之间的竖线 = 瞬时脉冲 X(α_j)，向上/下表示正/负，高度按本族最大 |α| 归一（两族 α 尺度不同，这样形状都看得清）。虚线竖线是播放头。

角度序列（逐项核对用）

单位 π，与论文附录 C / 报告附录 A 完全一致（每行 10 个）。播放时当前脉冲会高亮。 θ_j 是第 j 段 Z 演化时长，α_j 是其后的瞬时 X 脉冲；代价 T = Σθ_j。

ε 鲁棒性：偏离随误差的幂律

门偏差角 δ(ε) = arccos[ ½ Re Tr( Z(π)^† U(ε) ) ]（实线）与端点态误差 1−F（点线），双对数坐标。 N 阶鲁棒的特征是 δ ∼ ε^N+1，即斜率 N+1；灰色虚线为参考斜率。圆点是在浏览器里用 JS 重算的值，用来验证与 Python 参考曲线一致。

代价对比

每个 N 的数值代价 T、等角族代价 (2N+1)π、论文下界 4N（虚线）。点击柱子可切换 N。

怎么读、怎么验算

模型

U(ε) = X(α_L) Z^ε(θ_L) X(α_L−1) ⋯ X(α₁) Z^ε(θ₁)

Z^ε(θ) = exp[ −i(1+ε)θσ_z/2 ]， X(α) = exp[ −iασ_x/2 ]

目标 Z(π)，代价 T = Σ_j θ_j（只有 Z 耗时，X 瞬时且免费）。N 阶鲁棒 = 把每个 θ_j 换成 λθ_j 得到的 U_λ 在 λ=1 处前 N 阶导数为零。

球上读法：Z 转动绕 z 轴 → 沿纬度圆走；X 脉冲绕 x 轴 → 沿经线跳。

两条序列

我们的解：段长 θ_j 自由。用时间预算参数化（softmax）+ 自适应 T 下降 + 回溯阻尼 Gauss–Newton，并在 N 与 L 上暖启动延拓；逐项数值见论文附录 C。

LYC 等角族：Low–Yoder–Chuang 构造。θ_j ≡ π、L = 2N+1，代价恰好 T = (2N+1)π；相位由平坦性条件定出，本页用同伦延拓钉住 N=1 的经典解这一支（α = (2π/3, −2π/3, 2π/3)）。

同样 N 阶鲁棒，我们的代价是它的 0.84–0.93 倍（N ≤ 12）。

自己验算

1. 用上面的 N 选择器，在「转角结构」里读出整条序列 θ_j、α_j。

2. 按时间顺序（最右边的 Z^ε(θ₁) 先作用）连乘，得到 U(ε)。

3. 检查 ‖U(0) − Z(π)‖ < 10⁻⁹；再把 ε 减半，看 δ 是否缩小 2^N+1 倍。

逐项数值（θ/π、α/π）印在论文附录 C 与报告附录 A，可直接对照；本页的导出 PNG 也可放进讲义。

浏览器自检

本页把矩阵代数在纯 JS 里独立重写了一遍，加载时与 Python（scipy.linalg.expm）算好的参考值逐项比对：

运行中…

比对项：门偏差角 δ(ε)、端点态误差 1−F（|0⟩ 与 |+⟩）、以及 U(ε)|0⟩ 的布洛赫向量。